Difference of numerator and denominator of a proper fraction is 2. If 3 is subtracted from:numerator and 3 is added to denominator of the fraction it will be equal to $\frac{1}{5}$. Find the fraction.

ধরি, ভগ্নাংশটি হলো \(\frac{x}{y}\)।

যেহেতু এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ (proper fraction), তাই \(x < y\) হবে।

প্রথম শর্তানুযায়ী,

লব ও হরের পার্থক্য 2। যেহেতু এটি প্রকৃত ভগ্নাংশ, হর লবের চেয়ে বড়।

সুতরাং, \(y - x = 2\) ....... (i)

অথবা, \(x = y - 2\)

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,

লব থেকে 3 বিয়োগ করলে এবং হরের সাথে 3 যোগ করলে ভগ্নাংশটি \(\frac{1}{5}\) হয়।

সুতরাং, \(\frac{x - 3}{y + 3} = \frac{1}{5}\) ....... (ii)

এখন, সমীকরণ (i) থেকে \(x\) এর মান সমীকরণ (ii) তে বসিয়ে পাই:

\(\frac{(y - 2) - 3}{y + 3} = \frac{1}{5}\)

\(\frac{y - 5}{y + 3} = \frac{1}{5}\)

আড়াআড়ি গুণ করে পাই:

\(5(y - 5) = 1(y + 3)\)

\(5y - 25 = y + 3\)

\(5y - y = 3 + 25\)

\(4y = 28\)

\(y = \frac{28}{4}\)

\(y = 7\)

এখন \(y\) এর মান সমীকরণ (i) তে বসিয়ে \(x\) এর মান পাই:

\(x = y - 2\)

\(x = 7 - 2\)

\(x = 5\)

সুতরাং, ভগ্নাংশটি হলো \(\frac{5}{7}\)।